[Facharbeit] Mathematik

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Berserk
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[Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Mon Feb 11, 2008 7:25 pm

Joah me muss bis ende märz eine Facharbeit in Mathe geschrieben haben, und da es hier doch recht viele Leute gibt die sowas schon hinter sich haben oder sich auf einem höheren Niveau damit beschäftigen wollt ich mich mal ein bisschen erkunden.

Mein Thema:
Beweisverfahren der vollständigen Induktion

Ich weis das es nicht erlaubt ist zu kopieren usw. daher wollt ich Fragen ob es hier jemanden gibt der mir ein paar Tips geben kann.
Z.b. was ihr aufjedenfall in so einer Arbeit implementieren würdet (z.b. ein bestimmtes Beispiel , oder Anwendungsmöglichkeiten in der Physik o.Ä., Literatur zum Thema, usw.)
Einen Leitfaden, sowie alle anderen Formalitäten, zu so einer Arbeit hab ich schon.

Die Arbeit an sich stellt für mich kein Problem dar (schließlich hab ich mich freiwillig dafür gemeldet), jedoch würde ich gerne die Meinung haben von Leuten die sich bereits mit der Materie auseinandergesetzt haben, nicht das ihr denkt ich bin zu faul es selbst zu machen^^

Danke schonma im Vorraus

mfg Bersi
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Asyla
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Asyla » Mon Feb 11, 2008 8:51 pm

o.O# gott,wieso macht man sowas freiwillig?
ich hatte mathe in der oberstufe nur noch grundfach und wenn ich gekonnt haette,ich haette es abgewaehlt,genau wie musik!!!!!!!! o.O#
I´m just a kid and life a nightmare...

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Berserk
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Mon Feb 11, 2008 9:09 pm

ha Mathe macht spass wenn mans kann^^
Vor einer Aufgabe stundenlang zu sitzen und am ende das richtige ergebnis zu haben ;D

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Sillicoid
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Sillicoid » Mon Feb 11, 2008 9:49 pm

Eine Facharbeit zum Thema vollständige Induktion? Da frag ich mich aber doch echt wie man da auf eine gescheite Menge an "Seiten" kommen soll.
Wenn du das Thema hast wirste ja wissen was vollständige Induktion ist (IA IV IS). Aber das allgemeine Prinzip der vollständigen Induktion hat man ja theoretisch auf einer vllt zwei Seiten fertig erklärt. Was willst du denn noch dazu schreiben?

In der Physik fällt mir da spontan garkein Beispiel ein, in der Mathe gibts ja genug. Kannst z.b. zeigen das bestimmte Ausdrücke identisch sind (z.b. google -> 1+3+5+...+(2n-1)=n2 ) aber ich denke google bedienen um Beispiele zu finden kannste selber ;)
Vllt kannst auch kurz andere Beweismethoden vorstellen (Widerspruch, direkter Beweis etc)

Dann vllt ein Gegenbeispiel wo vollständige Induktion schiefgeht, da gabs irgendwie son Beispiel wo wir alle am Boden gelegen haben, ma gucken ob ich das noch auf die Reihe kriege:

Biertrinken:
IV: Du kannst ein Bier trinken (n = 1)
IA: "Ein Bier geht immer noch" (n->n+1)
IS: Du kannst n+1 Biere problemlos trinken :o
-> Fazit: Die (mathematischen) Vorraussetzungen müssen korrekt sein .. irgendwie so ka

Wie gesagt, ich fidns für ne Facharbeit schwer weil zu wenig "Material" zum schreiben da is bei dem Thema. Andere Verwendungsmöglichkeiten (z.b. in der Logik -> "Vollständige Induktion über Mengen") geht wohl über Schulmathe hinaus. Was du aus dem Bereich allerdings vllt verwenden kannst wären die absoluten Grundlagen die die Induktion ermöglichen.
Also Stichworte wie
- es gibt eine "erste" natürliche Zahl (0)
- jede Zahl hat einen Nachfolger
- kein Nachfolger einer Zahl ist wieder diese Zahl .. usw usw da gabs noch n paar Axiome zur definition der natürlichen Zahlen (die du ja für n elem N in der Induktion benötigst) musst dich ma schlau machen.

Mit dieser Nachfolgefunktion kannste dann auch z.b. die Assoziativ/Distributivgesetze per voll. Induktion zeigen.

So mehr fällt mir nich ein, sollte aber auch erstmal als Anregungen reichen.
Vllt fällt Sheeva ja ein Beispiel aus der Physik ein ;p

Literatur wirste sicher in einer Uni-Bib finden, ich denke da kommste auch als Schüler ohne Probleme rein, in Münster kannst in die Mathebib zumindest einfach reinspazieren und dann da lesen solang du willst ;) Aber vor den Büchern da kann ich dir eigentlich nur warnen das gibt n Schock fürs Leben !
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Berserk
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Tue Feb 12, 2008 7:44 am

Nice danke Silli^^
Ja um Literatur hab ich mich schonma bissle gekümmert
Und das das Thema nur sehr wenig zu bieten hat was die eigentliche Erklärung betrifft hab ich auch schon von meinem Lehrer mitbekommen, aber er meinte das ich halt mit Beispielen arbeiten soll und das ich noch Möglichkeiten mit dem Taschenrechner zeigen soll.
Naja danke schonma ; ) Muss mal mit Sheeva labern

mfg Bersi
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Yutani
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Yutani » Tue Feb 12, 2008 5:43 pm

Sillicoid wrote: Also Stichworte wie
- es gibt eine "erste" natürliche Zahl (0)
- jede Zahl hat einen Nachfolger
- kein Nachfolger einer Zahl ist wieder diese Zahl
Hauptstichwort: Peano-Axiome.

Zu "Induktionen die schiefgehen" habe ich noch zwei Beispiele gefunden:
Behauptung: Alle Pferde haben die gleiche Farbe.
Beweis Wir beweisen die Aussage in der Formulierung "In jeder Herde haben alle Pferde dieselbe Farbe." durch vollständige Induktion nach der
Anzahl n der Pferde in der Herde.
Induktionsanfang: n = 1. Klar.
Induktionsschritt n -> n+1: Wir betrachten eine beliebige Herde mit n+1
Pferden und bezeichnen die Pferde mit a_1, a_2, ... , a_n+1. Dann bestehen
die Herden {a_1, ... , a_n} und {a_2, ... , a_n+1} aus jeweils n Pferden. Also
haben nach Induktionsvoraussetzung a_1, ... , a_n bzw. a_2, .... , a_n+1 jeweils
dieselbe Farbe. Da a_2, ... , a_n in beiden Herden vorkommen, muss es sich
um dieselbe Farbe handeln. Also folgt die Aussage auch für n + 1.
Behauptung: Für jedes a element |R, a != 0, und jedes n element |N_{0} gilt a^n = 1.
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: a^0 = 1 ist richtig.
Induktionsvoraussetzung: Es gelte bereits a^k = 1 für alle k <= n.
Induktionsschritt n -> n + 1: a^(n+1) = a^n*a^n / a^(n-1) = 1*1 / 1 = 1.
(evtl kannst was draus machen^^)

Was auchnoch wichtig wäre, ist (imho) die Äquivalenz der zwei Induktions "Arten":
i) Gegeben eine Folge von Aussagen A(n), der Induktionsanfang wird für
n = 1 bewiesen, die Induktionsvoraussetzung A(n) wird für ein n 2 N als
wahr angenommen, im Induktionsschritt wird A(n+1) unter Verwendung
von A(n) bewiesen. Dann gilt A(n) für alle n element N.

ii) Gegeben eine Folge von Aussagen A(n), der Induktionsanfang wird für
n = 1 bewiesen, die Induktionsvoraussetzung A(k) wird für alle k element N mit
k <= n und ein n element N als wahr angenommen, im Induktionsschritt wird
A(n+1) unter Verwendung einiger oder aller A(k), k <= n bewiesen. Dann
gilt A(n) für alle n element N.

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Berserk
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Tue Feb 12, 2008 7:03 pm

Danke für die Anregung^^ das mit der Peano-Axiome hab bereits.

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artanh
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by artanh » Thu Feb 14, 2008 1:08 am

Würde ein einfaches und dennoch klassisches Beispiel bringen (ich bin mal so nett und schreibs hier rein, auch wenns wahrscheinlich scheisse formatiert is und man dennoch nix erkennt :>):

Code: Select all

Summe k=1 bis n über k  =  (n * (n+1))  /  2:

Beweis:
(Induktionsanfang, d.h. n=1) Zu zeigen ist, dass Summe über k=1 bis n über n = (n*(n+1))  /  2 ist:
                        n=1                       Def. Summe
Summe k=1 bis n über k   =   Summe k=1 bis 1 über k    =    1   =   2/2   =   (1 * 2)  / 2   =   (1 * (1+1)) / 2.


(Induktionsschritt, d.h. n => n+1) Angenommen, die Formel gelte für ein beliebiges n aus |N (dies ist die Induktionsvoraussetzung, kurz IV). Dann ist zu zeigen, dass daraus folgt, dass die Formel auch für n+1 gilt. Sei also n aus |N.
Dann:
                       Def. Summe
Summe k=1 bis n+1 über k   =   (Summe k=1 bis n über k)   +  (n+1)

                      IV anwenden
                           =   ((n*(n+1))  /  2)   +   (n+1)

            Linker Summand: Bruch erweitern
                           =   ((n*(n+1))  /  2)   +   (2*(n+1)) / 2

                Auf einen Bruch bringen
                           =   (n*(n+1) + 2*(n+1)) /  2

               Faktor (n+1) ausklammern
                           =   ((n+1) * (n + 2)) / 2.

q.e.d. - also gilt die Formel für alle n aus |N.
Generell lässt sich bei so Beweisen mit Summen sagen, dass im Induktionsschritt die Summe einfach "auseinandergezogen" wird. Auf den einen Teil dann die IV klatschen, das Ganze Bisschen geschickt umformen, feddisch. Oftmals lässt sich im Induktionsanfang auch mit n=0 beginnen, sofern 0 denn eine natürliche Zahl ist. Der Beweis bleibt fast gleich.
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by artanh » Thu Feb 14, 2008 1:15 am

Asyla wrote:o.O# gott,wieso macht man sowas freiwillig?
ich hatte mathe in der oberstufe nur noch grundfach und wenn ich gekonnt haette,ich haette es abgewaehlt,genau wie musik!!!!!!!! o.O#
Wenn du wüsstest, wo Mathematik überall wichtig ist! ;) Bei nahezu allem, was man so studieren kann, spielt auch Mathematik irgendwo eine Rolle (es sei man studiert z.B. Sprachen). Leider Gottes bekommt man sie in vielen Fachrichtungen (inkl. Schulmathematik) nur "mal eben" gezeigt, meistens von einer recht unangenehmen Seite ("a necessary evil"). Aber wenn man Mathematik wirklich von Grund auf aufbaut, kann das wirklich interessant sein.

Ich persönlich finde ja, dass Mathematik auch irgendwie lehrt, "vernünftig", logisch und analytisch zu denken. Für mich definitiv unverzichtbar, so dumm das klingen mag. Mathematik ist herausfordernd, du musst sie beherrschen, nicht sie dich! :)
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Thu Feb 14, 2008 7:57 am

artanh wrote:
Asyla wrote:o.O# gott,wieso macht man sowas freiwillig?
ich hatte mathe in der oberstufe nur noch grundfach und wenn ich gekonnt haette,ich haette es abgewaehlt,genau wie musik!!!!!!!! o.O#
Wenn du wüsstest, wo Mathematik überall wichtig ist! ;) Bei nahezu allem, was man so studieren kann, spielt auch Mathematik irgendwo eine Rolle (es sei man studiert z.B. Sprachen). Leider Gottes bekommt man sie in vielen Fachrichtungen (inkl. Schulmathematik) nur "mal eben" gezeigt, meistens von einer recht unangenehmen Seite ("a necessary evil"). Aber wenn man Mathematik wirklich von Grund auf aufbaut, kann das wirklich interessant sein.

Ich persönlich finde ja, dass Mathematik auch irgendwie lehrt, "vernünftig", logisch und analytisch zu denken. Für mich definitiv unverzichtbar, so dumm das klingen mag. Mathematik ist herausfordernd, du musst sie beherrschen, nicht sie dich! :)

*zustimm* : ) Mathe ist einfach Need und macht Fun, wenn man sich wirklich hinsetzt und damit auseinandersetzt und danke für das Beispiel ^^
Desweiteren braucht der Markt heutzutage einfach Leute die sich mit Mathematik und Naturwissenschaften (Physik usw.) beschäftigen.

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Ivan
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Ivan » Fri Feb 15, 2008 4:35 pm

Boah,ich kann mich asyla nur anschliessen :-)

nur vom Lewsen bekommt man da nen Augenkrampf :-)
naja aber wers kapiert ist natürlich klar im Vorteil und dann kann es natürlich auch spaß machen :-)

aber solche sachen wären mir persönlich zu hoch :-)

viel erfolg trotzdem :-)

Ascardia
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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Ascardia » Tue Feb 19, 2008 10:52 am

lol

ich hab die erste seite gelesen und weiß jetzt wer die wirklich unic geeks sind! :mrgreen:

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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Tue Feb 19, 2008 4:18 pm

du sicherlich nicht ! ;D

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Re: [Facharbeit] Mathematik

Post by Berserk » Sun Mar 30, 2008 10:58 pm

http://www.2shared.com/file/3068389/e3b ... ktion.html
Hier der direkte DL link
http://www.2shared.com/download/3068389 ... 6-754eb3c7

Wer sich die Facharbeit anguggn will : )
Danke an alle die mir Tips gegeben haben.
Das mit der Induktion die schief geht hab ich nicht genommen, da ich auf den strengen Beweischarakter eingegangen bin und das ist ja eigentlich das selbe^^

mfg Bersi
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